§
16. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
И
ЧЕТЫРЕХВЕКТОРЫ
О преобразованиях Лоренца в учебной и научной литературе написано очень много и в разных публикациях им придают неоднозначный смысл. В подходах Лоренца и Эйнштейна они также имеют совершенно разное содержание.
Естественно
задать вопрос: так в чем же секрет и
магическая сила этих преобразований
координат и времени, которые, если можно так
выразиться, перевернули наши представления
об окружающем нас мире в ХХ веке?
На
простейшем примере покажем, что понять
физический смысл преобразований Лоренца не
представляет большой сложности.
Пусть в
направлении оси ОХ
(рис.16.1)
распространяется плоская волна В
со скоростью
с.
Рис.16.1. Движение наблюдателя Н и распространение плоской волны В вдоль оси OX. |
Уравнение
движения фронта этой волны в неподвижной
системе координат, связанной со средой,
имеет вид:
xв = c
t.
(16.1)
Наблюдатель Н
движется в том же направлении со
скоростью v.
Уравнение движения наблюдателя такое
xн = v t.
(16.2)
Уравнение
(16.1)
можно записать и в такой форме, сместив его
по оси OX
с целью перехода в
подвижную систему координат,
xв - v t
= c
t
- v t = c(t - b
xв/c),
(16.3)
где
b
= v/c.
Чтобы уравнение (16.1)
осталось в силе, мы просто вычли из правой и
левой его части величину
v
t.
Такой
простой прием
преобразования уравнения (16.1)
– это и есть уже начало преобразований
Лоренца. Осталось только ввести в это
уравнение справа и слева масштабный
множитель g,
который появился в запаздывающем
потенциале (15.36).
Умножив обе части уравнения (16.3) на масштабный множитель g, мы получаем
g
(xв – v t) = c g (t - b
xв/c),
(16.4)
или
в сокращенной форме
x’в = c
t’,
(16.5)
где
x’в = g
(xв – v t)
и t’
= g (t - b
xв/c),
(16.6)
Преобразования
координат и времени (16.6)
и есть настоящие
преобразования Лоренца, которые были здесь
получены так просто. При этом не будем
забывать, что уравнение (16.5)
– это то же самое уравнение (16.1)
для распространения фронта волны, только
записанное в новых штрихованных переменных.
Смысл этих
операций свелся к тому, что, сместив
уравнение (16.1)
по оси
OX
, как бы переходя в подвижную систему
координат наблюдателя, мы одновременно
смещаем это уравнение и по оси времени,
чтобы исходное уравнение (16.1)
не нарушилось. Масштабный же множитель
g
введен
только потому, что он появляется в силовых
потенциалах для подвижных частиц при
непосредственном их вычислении.
Во время
этих преобразований по осям
OY
и
OZ
ничего
не происходит, и эти переменные остаются
без изменений.
Для плоской
волны получилось все очень просто, однако в
случае сферической волны ситуация чуть
сложнее. Все дело в том, что
электромагнитные поля, которые
генерируются элементарными частицами, это -
мир сферических волн, поскольку они всегда
рождаются в некоторой малой области и
распространяются со скоростью света в
форме расширяющейся сферы. Уравнение
распространения фронта сферической волны
имеет вид
R
= c
t,
(16.7)
где
R
- радиус расширяющейся
сферы. Для сравнения полезно вспомнить
уравнение (16.1),
которое было записано для плоской волны.
Возведем обе
части уравнения (16.7)
в квадрат
R2
= x 2 +y 2 +z 2 = c 2t
2 .
(16.8)
Теперь
нетрудно догадаться, что если мы запишем
уравнение (16.8) в
форме
x'
2 +y 2 + z 2 = c 2t' 2,
(16.9)
где x' и t' применены в соответствии с выражениями (16.6), то это будет то же самое уравнение (16.7) в тех же динамических переменных x, y, z, t, поскольку подобная замена переменных не нарушает исходного уравнения (16.7).
Проверим
это в действии. Для этого возведем обе части
уравнения (16.4) в квадрат
g 2(x
2 – 2 x
v t
+ v 2t 2) = c
2g
2(t 2 - 2b
x
t/c + b
2x
2/c 2).
(16.10)
После соответствующей перегруппировки слагаемых имеем
g 2x
2(1 - b 2)
= c 2g 2t
2(1 - b 2)
(16.11)
и
окончательно после сокращения
g
2
со скобкой получаем
x
2 = c 2
t
2,
(16.12)
т.е.
форма уравнения (16.1)
полностью восстановилась. При этом заметим,
что сокращение скобок в (16.11)
произошло внутри каждой из частей, и
поэтому не затрагивает масштабы по осям
Х
и Y,
если эти переменные возникают в уравнении.
Поэтому сохраняется и уравнение (16.7).
Другими словами, с использованием преобразований Лоренца мы добиваемся того, что сложная задача, связанная с перемещением объекта в поле сферических волн, переводится обратно в статику, и тем самым существенно упрощается ее решение. После замены переменных x, t на x', t' дальше мы поступаем с уравнениями так, как уже привыкли поступать в статике, где все было очень просто. Данная задача не является динамической, поскольку в формулах преобразований не содержится ни масс, ни сил, ни каких-либо полей. Это чисто кинематический эффект, поскольку вводится поправка на этот эффект, чтобы его скомпенсировать в уравнении распространения сферической волны. При этом вводится также понятие местного времени t’ в подвижной системе координат для полной компенсации введенных изменений по оси ОХ в данном уравнении.
Итак, мы
установили, что преобразования Лоренца –
это простая геометрическая поправка к
картине волн на кинематический эффект,
обусловленный перемещением объекта в среде.
В качестве примеров подобных поправок можно привести использование местного времени в различных городах мира для того, чтобы распорядок дня для людей, проживающих в разных городах, выглядел примерно одинаково. Здесь вводится кинематическая поправка, учитывающая вращение Земли. Аналогичная кинематическая поправка применяется в обсерваториях для телескопов, чтобы изображения планет, звезд или других наблюдаемых объектов оставались неподвижными за время наблюдения.
Поскольку
человек сам создает эталоны длины и эталоны
времени, то для перевода динамической
задачи в статику несложно ввести новый
эталон длины по оси ОХ и новый эталон
времени, назвав его местным временем.
Если бы все
частицы в эфире были неподвижны, то их
силовые поля являлись бы сферически
симметричными, и многие формулы имели
простой вид, как закон Кулона или закон
всемирного тяготения. Но все в мире
движется, в результате чего силовые поля
частиц за счет запаздывания рассеянных ими
эфирных волн деформируются и создают
большое многообразие различных по своей
форме сил. Мы также живем в мире
деформированных несферических полей ("кривых
полей"), поскольку Солнечная система
движется в эфире со скоростью около 300 км/c в
направлении созвездия Льва.
В
результате всех этих деформаций полей,
обусловленных движением микрочастиц,
электродинамика становится необычайно
сложной и трудно поддающейся осмыслению
частью физики, что порождает в свою очередь
многочисленные мистификации в отношении
пространственно-временных представлений.
Приведем
еще один пример, где необходимо учитывать
движение частицы в полях. Из теории поля
хорошо известно, что полная производная по
времени от некоторой полевой функции,
вычисленная с учетом движения частицы в
поле, не совпадает с частной производной от
той же функции, вычисленной в неподвижной
точке поля. Вычисляя полную производную по
времени, мы переходим
в систему координат, связанную с движущейся
частицей, для которой полевые
характеристики воспринимаются совсем по-иному,
нежели для неподвижной частицы.
Образно
говоря, движущаяся частица как бы выполняет
своеобразную роль наблюдателя в подвижной
системе координат и своим поведением
сообщает нам, что процессы там происходят
совсем не так, как у нас в неподвижной
системе.
Когда мы
переходим в подвижную систему координат,
производя замену координаты
Х
и времени
t
в соответствии с
преобразованиями Лоренца, то и функции,
входящие в различные динамические
уравнения, очевидно, также изменят свой вид,
поскольку они могут зависеть от
координаты Х
и времени.
Представляет
большой интерес найти некоторые общие правила, по
которым можно было бы как по таблице
производить преобразование различных
функций, не повторяя кропотливых
подстановок
x'
и
t' в функции и
уравнения. Оказывается, что такие правила
удалось вывести, опираясь на те же самые
преобразования Лоренца.
В
работе [1]
приводится пример прямого вывода
преобразований Лоренца в применении к
импульсу частицы
р.
При этом установлено, что величины
(m
c, p)
ведут себя при
переходе в подвижную систему координат
точно так же, как и величины
(c
t, r)
в формулах Лоренца (16.6).
Можно привести целый ряд других примеров, когда четыре функции, одна из которых скалярная, а три других - это проекции некоторого известного вектора в декартовых координатах, проявляют себя как аналоги величин (c t, x, y, z) при преобразованиях Лоренца [2, 3].
Если
говорить точнее, то преобразования Лоренца
касаются только скалярной функции и
х
- компоненты
подходящего к этой скалярной функции
вектора. Поэтому данные правила являются
довольно простыми и не требуют разработки
для этого какого-то специального
математического аппарата или тензорного
исчисления.
Можно
подсказать небольшой секрет в подборе
скалярной функции под соответствующий
вектор. Поскольку преобразования Лоренца
чаще всего используются
в электродинамике, где участвуют
волновые процессы со скоростью
волн с,
то скалярная функция, как правило, входит в
эти преобразования в качестве
временной компоненты в комбинации с
константой
с.
Поэтому в
данном случае просто следует соблюдать
размерность при подборе скалярной функции
к вектору, т.е. скалярная функция должна
иметь ту же самую размерность, что и вектор.
Например вектору импульса
р
мы подбираем
скаляр mc,
волновому вектору k
соответствует скаляр
w/c,
вектору плотности тока
j
= r
v
соответствует
скаляр r
c,
векторному потенциалу А
- скалярный
потенциал
j
/c
и так далее.
В этом
случае преобразования Лоренца
записываются в симметричной форме и имеют
вид:
x'
= g
(x
- b
c
t),
ct'
= g
(ct
- b x).
(16.13)
Несмотря на всю простоту данных преобразований, математики назвали рассматриваемую комбинацию из скалярной функции и вектора четырехвектором и разработали для таких четырехвекторов специальный четырехвекторный анализ. Он внешне очень напоминает обычный векторный анализ, но со своими специфическими свойствами, которые полностью определяются преобразованиями Лоренца [2].
Все же следует заметить, что скомбинировать две компоненты с помощью преобразований Лоренца, которые очень легко запомнить, может оказаться намного проще, чем путаться в громоздких и абстрактных тензорах и индексах, требующих специального изучения и запоминания, поскольку четырехвекторный анализ существенно отличается от обычного векторного анализа. За этими тензорами уже с трудом можно разглядеть реальные физические поля и уравнения движения материальных объектов.
Тензорный
способ описания электромагнитных полей
может оказаться удобным в целом ряде
инженерных расчетов, например, при расчете
ускорителя элементарных частиц или
разнообразных реакций с участием этих
частиц [2].
Но он не способствует пониманию физики
процессов, как, к примеру, не помог в выводе
уравнений Максвелла, выражения для силы
Лоренца и калибровки Лоренца, не помог
понять природу массы и заряда частиц,
кулоновского поля и так далее. Об этих
физических характеристиках мы продолжим
разговор в следующих разделах.
Таким
образом, единственной основой для всех
преобразований функций и электромагнитных
полей при переходе в подвижную систему
координат являются обычные преобразования
Лоренца. Их
физический смысл и был детально рассмотрен
нами выше, единственное
назначение которых - это приведение сложной
кинематической задачи к статике, где можно
использовать привычные уравнения,
полученные в статических условиях.
Поскольку
все идеи, заложенные в преобразованиях
Лоренца и четырехвекторах, возникли и
развились в рамках обычных классических
представлений, а также в классической
электродинамике Максвелла - Лоренца, то
можно сделать вывод, что они не имеют
прямого отношения к специальной теории
относительности (СТО).
Эйнштейном была выдвинута гипотеза о том, что все упомянутые выше преобразования могут быть получены только из принципа относительности и постулата об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета. Исторически же преобразования Лоренца появились задолго до появления СТО и на основе совсем иных соображений.
Преобразования Лоренца возникли в рамках общих волновых представлений, которые носят универсальный характер, и поэтому не приходится сомневаться, что они будут справедливы для любых волновых процессов, в частности, в акустике движущейся среды [4]. Если преобразования Лоренца занимают центральное место в СТО, то в акустике эти преобразования используются на основе обычных волновых представлений, минуя принцип относительности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фейнман Р., Лэйтон Р., Сэндс М. Р. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1977. Вып. 1,2. С. 306.
2. Фейнман Р., Лэйтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Электродинамика. М.: Мир, 1977. Вып. 6. C.15-150, 244-321.
3. Фейнман Р., Лэйтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции пофизике. Электродинамика. М.: Мир, 1977. Вып.5. C. 9-11.
4. Блохинцев Д.И. Акустика
неоднородной движущейся среды.М.: Наука, 1981.
С. 37-99.
5. Шаляпин А.Л., Стукалов В.И. Введение в классическую электродинамику и атомную физику. Второе издание, переработанное и дополненное. Екатеринбург, Изд-во Учебно-метод. Центр УПИ, 2006, 490 с.
За дополнительной информацией можно обратиться на сайты:
http://shal-14-boom.ru http://shal-14.narod.ru