ВЫВОД ДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В РАМКАХ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

    Рассмотрим систему, состоящую из большого  числа атомов, т.е. вещество. Распределение  электронной плотности в веществе при стационарном движении электронов описывается стационарной функцией распределения   w(x,y,z),  уравнение для которой мы вывели в предыдущем параграфе.

   Отметим, что под стационарным распределением следует понимать усредненную за бесконечное время наблюдения плотность электронной  плазмы в веществе. Однако из-за статистического характера движения электронов электронная плотность не остается постоянной, а непрерывно флуктуирует во времени за счет естественного орбитального движения электронов  в атомах и молекулах. Таким образом, для установления более полной динамической картины поведения электронной плазмы необходимо учитывать временную зависимость функции распределения. При этом функция распределения будет иметь вид:   w(x,y,z,t). Требуется определить характер этой зависимости и, в частности, зависимость от времени комплексной амплитуды функции распределения    ψ(x,y,z,t).

С этой целью воспользуемся законом сохранения полного заряда или числа частиц в веществе, который в дифференциальной форме известен как уравнение непрерывности для плотности заряда   q   и плотности  электрического тока   j = v q,  где  v - средняя  скорость электронов,

    ¶ q /¶ t + div j  =  0.                              (1)         

Используя статистический метод описания, выразим плотность электрического заряда через  функцию распределения электронной плотности   w(x,y,z,t)   и заряд электрона    e

q(x,y,z,t) = e w(x,y,z,t) = e|ψ(x,y,z,t)| ².                        (2)

  Подставив это выражение в (1) и сократив заряд    e,   получим уравнение непрерывности для  функции распределения электронной плотности 

   ¶ /¶ t  |ψ| ² + div |ψ| ² v  =  0.                                (3)

  Данное уравнение на языке статистической  механики может быть интерпретировано следующим  образом. Первый член уравнения означает изменение функции распределения или электронной плотности во времени в данной точке пространства. Второй член имеет смысл потока функции распределения или потока плотности вероятности через малую сферу, окружающую данную точку, в соответствии с определением дивергенции вектора.  Вполне естественно, что от функции распределения некоторой  физической величины (заряда, массы, энергии и  т.д.) можно всегда перейти к описанию поведения во времени самой физической величины в  терминах механики сплошной среды.  

  Таким  образом, использование той или иной    функции распределения является мостиком или связующим звеном между описанием движения дискретных объектов в статистической механике и в механике непрерывных сред, которые всегда являются некоторой идеализацией реального вещества, состоящего из атомов и молекул.

Недооценка этого подхода породила в квантовой теории представление об отдельной частице как о протяженном (размытом) в пространстве объекте:  например, волна де Бройля, волновой пакет или электрон в виде облака, хотя речь идет, как правило, всего лишь о функции распределения, то есть плотности вероятности местонахождения частицы  в заданном  объеме.

С целью определения временной зависимости  ψ(x,y,z,t) приведем уравнение (3) к  виду

¶ /¶ t (ψ*ψ) = - div(ψ*ψ v) .                                (4)  

           Преобразуем правую часть (4) к симметричной форме с заменой скорости   v   на импульс электрона  p = mv

        ¶ /¶ t(ψψ*) = - (1/2m)div(ψ*рψ + ψрψ*).                (5)

           Теперь воспользуемся методом Фурье, примененным для вывода стационарного уравнения Шредингера в предыдущем пункте, и произведем замену импульса  р   в (5) дифференциальным оператором в соответствии с выражением

                   р ψ = - iћ Ñ ψ.                                       (6)

  Подставляя (6) в (5) и выполнив дифференцирование, получаем

          ¶ /¶ t(ψψ*) = (iћ /2m)(ψ*D ψ + ψD ψ*).                    (7)

           Для приведения уравнения к удобному виду с целью  совместного его решения со стационарным уравнением Шредингера  умножим все члены  на   iћ, раскроем скобки в левой части, а в правую часть прибавим и вычтем слагаемое ψ*U ψ. После соответствующей перегруппировки слагаемых в получившемся уравнении имеем

  iћ ψ*¶ ψ/¶ t – [iћ ψ*¶ ψ/¶ t]* = - (ћ ²/2m)ψ*Dψ + ψ*U ψ –

            [- (ћ ²/2m)ψ*Dψ + ψ*Uψ]*.                                       (8)

Данное сложное уравнение состоит из двух комплексно сопряженных частей более простого уравнения

          iћ ¶ ψ/¶ t  = - (ћ ²/2m)Dψ + Uψ,                                (9)

  где произведено сокращение на    ψ*.

         Мы получили полностью классическим путем динамическое уравнение Шредингера, которое было введено им также в виде постулата, исходя из волновых соображений в 1926 году. Если потенциальная энергия    U(x,y,z)   не зависит от времени, то в уравнении (9) можно произвести разделение переменных, записав функцию   ψ  в виде произведения временной и пространственной функций

         ψ(x,y,z,t) = В(t) П(x,y,z) .                            (10)

  Подставим это выражение в уравнение (9)

  iћ П dB/dt = -( ћ ²/2m) ВDП + U ВП                     (11)

и поделим обе части уравнения (11) на    ВП

  iћ (1/В) dB/dt = - ћ ²/2m (DП)/П + U.                    (12)

           Хорошо видно, что левая часть уравнения (12) зависит только от времени, а правая часть - только от координат. Для любых значений   t   и координат это возможно только в том случае, если обе части уравнения равны некоторой константе   Е,   называемой параметром разделения. В результате мы получаем два независимых уравнения

  iћ dB/dt = E B                                                    (13)

и                          (- ћ ²/2m) DП + U П = E П.                        (14)

  Второе уравнение является стационарным уравнением Шредингера, которое было выведено нами ранее методом Фурье. Уравнение (13) легко решается и приводит к следующей временной зависимости функции   В(t):

  В(t) = exp(-iE t / ћ) = exp(-iw t),                                (15)

  где   w = E / ћ   - боровская частота. Данное уравнение могло быть получено и на основе гармонического Фурье-анализа из соотношения

                     ¶ ψ/¶ t = iw ψ.                                            (16)

        Выражение же для боровской частоты можно получить лишь с использованием некоторых других соображений, например, с использованием теории адиабатических инвариантов или закона смещения Вина, в котором рассматривается связь энергии излучения с частотой.

Проанализируем различные варианты решения уравнений (13) и (14). Если параметр разделения   Е   является комплексным, то функция В(t)  будет изменяться во времени по модулю, что приведет к изменению электронной плотности в данной области пространства, т.е. соответствует нестационарному процессу, а полная энергия не является интегралом движения системы. При этом будет происходить либо поглощение, либо излучение электромагнитной энергии в зависимости от характеристик системы. В том же случае, если параметр разделения является действительной величиной, модуль функции   В(t)   становится постоянным и зависимость   В(t)  является гармонической с частотой колебаний   w. Это соответствует стационарному движению электронов в атомах и молекулах, т.е. параметры движения в системе остаются постоянными. Более подробно обо всем этом можно прочесть в работе [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Шаляпин А.Л., Стукалов В.И. Введение в классическую электродинамику и атомную физику. Второе издание, переработанное и дополненное. Екатеринбург, Изд-во  Учебно-метод. Центр УПИ, 2006, 490 с. За дополнительной информацией можно обратиться на сайты:

  http://s1836.narod.ru                    http://shal-14.narod.ru